“O que a matemática faz para o mundo, a teoria das categorias faz para a matemática.” - Eugenia Cheng
No âmbito da matemática, é comum falarmos sobre o ato de generalizar teorias ou resultados específicos. Geralmente esse termo se refere a retirar certas premissas e reconsiderar os resultados consequentes.
Nesse sentido, a teoria das categorias se beneficia da generalização para conectar diferentes áreas, abstraindo e compartilhando resultados.
O que é uma categoria?
Uma categoria é uma estrutura que consiste em:
- Objetos;
- Morfismos: Conexões direcionadas entre objetos.
E obedece as duas seguintes regras:
- Identidade: Para todo objeto A, deve existir um morfismo de identidade \text{id}_A: A \to A;
- Composição: Se existem morfismos f: A \to B e g: B \to C, deve existir a composição g \circ f: A \to C.
Exemplos
- Graph: composta por grafos e homomorfismos;
- Top: composta por espaços topológicos e funções contínuas;
- Cat: composta por categorias e funtores.
O que é Teoria das Categorias Aplicada?
A Teoria das Categorias Aplicada (ou ACT - Applied Category Theory) utiliza essa linguagem para modelar sistemas do mundo real. Algumas das principais áreas de aplicação incluem:
- Bancos de dados e linguagens tipadas, na computação;
- Redes de Petri, na química;
- Epidemiologia, na intersecção entre biologia e estatística;
- Sistemas dinâmicos e topologia algébrica, na própria matemática.